23: Dispersión II

En la simulación 14 en la serie de Fourier, se encontró que complicadas formas de onda periódicas siempre pueden ser construidos a partir de funciones de seno y / o coseno de diferentes frecuencias y longitudes de onda. En la simulación anterior, se encontró que diferentes longitudes de onda pueden viajar a velocidades diferentes en función del medio. Entonces, ¿qué le pasa a una forma de onda compleja si viaja a través de un medio en el que las componentes individuales tienen diferentes velocidades?

Podemos escribir una serie de Fourier para una onda cuadrada en movimiento en el tiempo y el espacio como y(x,t) = ∑_{n = 1} A_n sen (nkx - nωt) donde n es el número de la armónica o el modo (n = 1 para el fundamental, 2 para el segundo armónico etc., A_n es la amplitud del armónico n, k es el vector de onda y ω es la frecuencia angular. Recuérdese de la simulación de 12 que la velocidad de grupo de una combinación de ondas es v_group = ∂ω(k) / ∂k. La dependencia de ω en k se llama la relación de dispersión. En vacío o en un medio no dispersivo podemos esperar que cada componente de la serie tenga la misma velocidad, v = ω / k, por lo que la relación de dispersión es ω(k) = kv a velocidad de grupo es v, misma que la de las componentes individuales. En este caso la onda cuadrada no cambia de forma a medida que viaja.

En la vida real, sin embargo, es frecuente el caso en que la frecuencia angular, ω(k), no es una función lineal del vector de onda, k en cuyo caso los componentes individuales de la serie de Fourier viajan a velocidades diferentes. Si diferentes frecuencias de onda viajan a diferentes velocidades el efecto se llama dispersión. Como vimos en la simulación anterior, la dispersión hace que la separación de colores por los prismas, las gotas de agua, etc. En esta simulación se explora un aspecto diferente de la dispersión.